EJERCICIOS RESUELTOS DE CUERDAS


22. Hipótesis: m < OAB = 36

Hallar: m arco AB
"AOB es isósceles
m < A = 36
m < B = 36
m < O = 180 - m < A - m< B
m < O = 180 - 72
m < O = 108
m arco AB = 108


24. Hipótesis: m arco AB = 70; seg. AC es un diámetro.
Hallar: m < OBC
m< O = 70
AC = 180
m < BOC = 180 - 70
m < BOC = 110
" BOC es isósceles
>OBC congruente <OCB
180 - 110 = 70/ 2

m< OBC = 35 m< OCB = 35
5)
DEMOSTRACION
PROPOSICION RAZON

1) AE Tang ( O,R) 1) Hipótesis
AE II DC
Arco AB=60
Arco BC=50

2) < D = arco BC / 2 2) T . < inscrito

3) BC+DC = 180 3) T . suma de arcos

4) 50 + DC=180 4) Reem de 1 en 4

5) DC = 130 5) Ax . Clausurativo

6) AB + BC +DC + AD = 360 6) T.a+b=c=a= c – b

7) 60 + 50 + 130 + AD = 360 7) Reem de 1 , 5 en 7

8) AD = 120 8) Ax . Calusurativo

9) < 1 = Arco AD – Arco AB / 2 9) T . < Externo

10) < 1 = 120 – 60 / 2 10) Reem de 1,8 en 10


11) < 1 = 30 11) Ax . Clausurativo

14)
Dibujo.JPG

H) AB Tang o (O,R)
T) AC2=2R.BC

DEMOSTRACION

PROPOSICIONES
RAZONES
1
AB Tang o (O,R)
Dato
2
AP y PC
Construcción
3
AO=R
Dato
4
AC2=BC2+AB2
T. de Pitágoras (∆ABC)
5
AB=CP; AP=BC
Por def. de rectángulo
6
CP2=AO2-OP2
T. de Pitágoras (∆OCP)
7
AB2=R2-OP2
Reemplazo de 3 y 5 en 6
8
AP=AO+OP
Suma de segmentos
9
BC=OP+R
Reemplazo de 3 y 5 en 8
10
OP=BC-R
T. a+b=c →a=c-b
11
AC2=BC2+R2-OP2
Reemplazo de 7 en 4
12
AC2=BC2+R2-(BC-R)2
Reemplazo de 10 en 11
13
AC2=BC2+R2-BC2+2BCR-R2
Operación
14
AC2= 2BC.R
Ax. Clausurativo (+)


42)


H) AD=DC=4Dibujo_2.JPG
T)AM=??



DEMOSTRACION

PROPOSICIONES
RAZONES
1
AD=DC=4;AC=8;EO=10
Dato
2
DB
Construcción
3
AB=BC
Por semejanza de triángulos entre el ∆ABD y el ∆ DBC
4
AC2=BC2+AB2
T. de Pitágoras (∆ABC)
5
82=AB2+AB2
Reemplazo de 1 y 3 en 4
6
64=2AB2
Ax. Clausurativo (+)
7
32=AB2
T. a.b=1→a=1/b
8
AB=5,66
Operación
9
EA.AD=AB.AM
Si 2 cuerdas dentro de un o, el producto de las long. De los seg. Formados


en la una es = al producto de las long. De los seg. Formados en la otra
10
EO=OD
Por def. de radio
11
OD=OA+AD
Suma de segmentos
12
EO=OA+4
Reemplazo de 10 y 1 en 11
13
OA=6
T. a+b=c→a=c-b
14
EA=EO+OA
Suma de segmentos
15
EA=10+6
Reemplazo de 1 y 13 en 14
16
EA=16
Ax. Clausurativo (+)
17
16.4=5,66.AM
Reemplazo de 1, 8 y16 en 9
18
AM=11,31
T. a.b=1→a=1/b; Ax. Clausurativo (x)




18)graf_1.jpg







1) AB TANG 0 (O,R)


AE = 17; BE = 6; ED = 4: CE = 3 CA = 20
1) Hipótesis

2) CE x EF = BE x ED

2) Teorema de intersección de cuerdas en un círculo.
3) 3 x EF = 6 x 4
3) Reemplazo de 1 en 2
4) EF = 8
4) Ax. Clausurativo (x); T. a.b = 1= a= 1/b
5) AE = EF + FA
5) Suma de segmentos
6) 17 = 8 + FA
6) Reemplazo de 1 y 4 en 5
7) FA = 9
7) T. a+b=c=a=b-c; Ax. Clausurativo (+)
8) AB^2 = FA X CA
8) T. la tangente es media proporcional entre la secante y su parte externa
9) AB = √ 9 x 20
9) Reemplazo de 1 y 7 en 8
10) AB = 13,416

46)

graf_2.jpg
10) Ax. Clausurativo (x) y raíz cuadrada


1) CB= CD = 40 ; AD = 100 ; OA= 5
BD Construcción; oA= radio; AB= diámetro; AB´ Semicircunferencia construida


1) Hipótesis

2) <A= BC + CD / 2
2) T. < Inscrito
3) <A = 40 + 40 /2
3) Reemplazo de 1 en 2
4) <A = 40
4) Ax.Clausurativo (+) (x)
5) <1 = AD/2
5) T. < Inscrito
6) <1 = 100/2
6) Reemplazo de 1 en 5
7) <1 = 50
7) Ax.Clausurativo (x)
8) <E = (AB - CD) / 2
8) T. < Externo
9) <E = (180 – 40) / 2
9) Reemplazo de 1 en 8
10) <E = 70
10) Ax.Clausurativo (+) (x)
11) <A+(<1+<2)+<E=180
11) Sumatoria de <s int. de un triángulo
12) 40 + 50 +<2 + 70 =180
12) Reemplazo de 4, 7, 10 en 11
13) <2 = 20
13) T. a+b=c= a= b-c; Ax.Clausurativo(+)
14) <B = <1+<2
14) Sumatoria de <s
15) <B = 50+20
15) Reemplazo de 7, 13 en 14
16) <B = 70
16) Ax.Clausurativo(+)
17) AE = AB x COS <B
17) Ley de Cosenos
18) AE = 10 x COS 70
18) Reemplazo de 1, 16 en 17
19) AE = 3,42
19) Ax.Clausurativo(x)
20) AD = AB x COS 50
21) AD = 6,42
22) DE = AD-AE
23) DE = 6,42-3,42
24) DE = 3

20) Ley de Cosenos
21) Reemplazo de 7,16 en 20 y Ax.Clausurativo(x)
22) Sumatoria de segmentos
23) Reemplazo de 19 y 22 en 23
24) Ax.Clausurativo(+)









































12)
ejecicio12.JPG

H)

DM tang

T)
BM=MC




DEMOSTRACION


PROPOSICION RAZON
1. DM tang; ACB=90; A =360 Hipótesis
2. A=
. r2 Área de un circulo
3. r2=360/
Reemplazo de 1 en 2, despeje de r
4. r= 7.5 Operación
5. AC=15 Suma de segmentos
6.



2m1+90=180 sumatoria de ángulos int del ABC
7. m1= 45 Operación
8. tang A=CB/AC Función de tangente
9. tang 45x 15= CB Reemplazo de 7 en 8; despeje de CB
10. CB=15 Operación
11. AB2=AC2+CB2 T. de Pitágoras
12. AB2=152+152 Reemplazo de 5, 10 en 11.
13. AD=DB=10.6 Sumatoria de segmentos
14. Cos 45= MB/DB Función coseno
15. Cos 45X 10.6= MB Reemplazo de 7 en 8; despeje de MB
16. MB=7.5 Operación
17 CM=7.5 sumatoria de segmentos







40)

H) ejercicio_40.JPG

PA y PC tang

T)
mAB=?





DEMOSTRACION


PROPOSICION RAZON


  1. PA y PC tang; BC =4 Hipotesis
  2. BAP=ACP=ABC=CPA=90 Hipotesis
  3. Fig. BCAP Def. de cuadrado
  4. mB= mC= mA= mP=4 Def. De cuadrado
  5. mBA= 4 T. todos los lados de un cuadrado son =

33)


DEMOSTRACION


PROPOSICION RAZON

1) AB = 40;BC=16 ; DC=14 1) Hipotesis

2) AB x BC=ED x DC 2) Si dos
cuerdas se cortan
dentro de un circulo
3) 40 x 16 = ED x 14 3) Reemplazo
1 en 3
4) ED = 45.71 4) Ax.Clausurativo(X)

5) AH=20;HB=20 5) Ax.Clausurativo(=)
EO=22.855;OD=22.855

6) HC=HB+BC ; OC=OD+DC 6) T. + de angulos
7) HC=20+16; OC=22.855+14 7) reem de 1 en 6
8) HC=36; OC= 36.855 8) Ax . clausurativo(+)
9) cos C = 36 / 36.855 9) T. funciones
Trigonometricas
10) C = 51.52 10) OPERACIÓN
11) tg 51.52 = OH / 36.855 11) T. funciones
Trigonometricas
12) OH = 15 12) Ax . Cñausurativo



Ejercicio_no_se.JPG


DEMOSTRACIÒN
PROPOSICIÒN
RAZON

AO = 10 ; OB =8 ; BC =2


HIPOTESIS



AB*BC = EB * BD
Si 2 cuerdas dentro de un o, el producto de las long. De los seg. Formados en la una es = al producto de las long. De los seg. Formados en la otra.


18 * 2 = EB *BD
REEM. 1 EN 2


EB = 36/ BD



18 * BD = 3a
t. suma de segmentos es igual al arco comprendido


EB * 2 = a
t. suma de segmentos es igual al arco comprendido


18 * BD = 6 EB
Igualo 4 y 5


18 * BD = 6 ( 36/BD)^2
Reemp. 4 en 7


BD^2 = 12
t. a*b = c => a = c / b


BD = 3.4
Ax. clausurativo





16
16.JPG

PROPOSICIONES
RAZONES
OB= a
Hipótesis
mDB*mBC OB+r*mAB
T. Punto secantes
mDB*mBC (a+r)*mAB
Reemplazo de 1 en 2
AB= (a-r)
Resta de segmentos
mDB*mBC=(a+r)* (a-r)
Reemplazo de 4 en 3
mDB*mBC =a2-r2
Axioma CLausurativo


45


qw.JPG

PROPOSICIONES
RAZONES
AE tang, AE II DC. AB=60 BC=50
Hipótesis
mBDC= BC/2
T. Angulo Inscrito
mBDC= 50/2
Reemplazo de 1 en 2
mBDC= 25
Axioma Clausurativo
m1= mBDC
Teorema angulos alternos internos
m1= 25
Reemplazo de 4 en 5