Circulo inscrito en un triangulo
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Teorema 1
La longitud de la tangente trazada desde un vértice de un triangulo al círculo inscrito, es = al la diferencia entere el semiperimetro y el lado opuesto a dicho vértice

T1) α=p-a
T2) β=p-b
T3) δ=p-c
D)
AD=AE-α → 2p =2 (α+β +δ)
BE=BF-β α =p-(β +δ)
CF=CD-δ : α=p-a
: β=p-b
: δ=p-c /

Teorema 2
El área de un triangulo es =al producto del semiperimetro por el radio del circulo inscrito

T) A ABC= px r
D) A ABC= A BIC +A AIC+A AIB= ½ (ax r+ bx r+ cx r)
:
A

ABC= px r


Teorema 3
El radio del círculo inscrito en un triangulo rectángulo es = a la + de sus longitudes de sus catetos, menos la longitud de la hipotenusa, todo / para


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Círculo circunscrito a un triángulo
Círculo que pasa por los tres vértices de un triángulo dado, o por los vértices de un polígono cíclico dado. Se dice que la figura dentro del círculo está inscrita.
Al punto en la figura que es el centro del círculo circunscrito se le llama circumcentro.
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1. Incentro de un Triángulo
El incentro es el punto de corte de las bisectrices interiores de un triángulo. El estudio del incentro que haremos aquí será desde el punto de vista de la Geometría Euclídea.También estudiaremos elementos asociados al incentro, por ejemplo, la circunferencia inscrita


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2. Teorema del Incentro
o El incentro de un triángulo es equidistante de los lados del triángulo.
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3. Incentro
o El incentro de un triángulo siempre está dentro del triángulo




4. Círculo Inscrito
o Un círculo inscrito en un triángulo es un círculo cuyo centro está en el incentro del triángulo y toca cada lado del triángulo solamente una vez.
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Circulo ex - inscrito a un triangulo
Es el círculo tangente a un lado de un triángulo y a las prolongaciones de los otros dos lados

O (Oa,Ra) Ex – inscrito al ∆ ABC
ra Radio del circulo tangente al lado a

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Teorema 1
La longitud de la tangente trazada desde un vértice de un triángulo al círculo ex – inscrito, es igual al semiperimetro.
T) AQ= p
D) 2p= AB+BE+EC+AC
2p=AB+BT+CQ+AC
2p=AT+AQ=2Q
P=AQ





Teorema 2

El radio del círculo ex- inscrito es el radio del círculo inscrito de un mismo triangulo, como el semiperimetro menos la longitud del lado al que el círculo ex – inscrito es tangente.
T) r/r = p/p a
D) ∆AQaQ ~ ∆AID (A.A.A.) .·. r/r = p/ p a


Teorema 3

El área de un triángulo es igual al radio del círculo ex – inscrito por el semiperimetro menos al lado del triángulo al que es tangente el círculo.
T) A∆ ABC = ra (p – a)
D) A∆ ABC= A∆ ACOa + A∆ ABOa - A∆ BCO
A∆ ABC= ½ (bx ra + cx ra – ax ra )
A∆ ABC = ½ ra (b+c - a)
.·. A∆ ABC= ra (p – a)
.·. A∆ ABC= rb (p – b)
.·. A∆ ABC= rc (p – c)